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Forme quadratique pdf
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La forme f a une unique droite isotrope si et seulement si rang(f) =Ceci arrive Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel réel de dimension te deux entiers s et t,s,t, s+t n et une base e =(e1,,e n) de E tels que: q(x)= Xs i=1 x2 i Xt j=1 x2 s+j, pour tout vecteur x = n i=1 x ie i. De plus, les entiers s et t ne dépendent que de la forme quadratique q,etnond’unchoix de la base Leçon– Cours: Formes quadratiques Objectif: Dans cette leçon nous présentons les formes quadratiques et les propriétés des matrices symétriques réelles qui y sont étroitement associées. Proposition{ Si qest une forme quadratique d e nie, alors sa forme bilin eaire associ ee est non d eg en er ee. Objectif: Dans cette leçon nous présentons les formes quadratiques et les propriétés des matrices symétriques réelles qui y sont Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos: il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ouK n(K)En particulier, ce cas n’arrive pas sur un corps alg ebriquement clos. Dit autrement, on peut identifier polynôme et fonction polynôme en degré homogène(c’est-à-dire, pour les formes quadratiques). D e nition{ On dit qu’une forme quadratique qest d e nie si on a, pour tout x2E, (x6==)q(x) 6= 0). Il convient également de définir le noyau et 2 Formes quadratiques D´efinition Une application q: E −→ K est une forme quadratique sur E si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´eeil Mise en pratique (Exempleforme quadratique sans carr es) Soit R4 muni de la base canonique B= (e 1;e 2;e 3;e 4) et consid erons la forme quadratique q d e nie par Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos: il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ouK n(K) Leçon– Cours: Formes quadratiques. D emonstration: montrons la contrapos ee Ces notions sont introduites dans le but de traiter en application les problèmes d'extrema libres et liés, très importants en 2 Formes quadratiques D´efinition Une application q: E −→ K est une forme quadratique sur E si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´eeil existe une forme bilin´eaire sym´etrique φ sur E ×E telle que ∀x ∈ E, q(x) = φ(x,x) ou qest la forme quadratique associ ee a ’.
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La forme f a une unique droite isotrope si et seulement si rang(f) =Ceci arrive Soit q une forme quadratique sur un espace vectoriel réel de dimension te deux entiers s et t,s,t, s+t n et une base e =(e1,,e n) de E tels que: q(x)= Xs i=1 x2 i Xt j=1 x2 s+j, pour tout vecteur x = n i=1 x ie i. De plus, les entiers s et t ne dépendent que de la forme quadratique q,etnond’unchoix de la base Leçon– Cours: Formes quadratiques Objectif: Dans cette leçon nous présentons les formes quadratiques et les propriétés des matrices symétriques réelles qui y sont étroitement associées. Proposition{ Si qest une forme quadratique d e nie, alors sa forme bilin eaire associ ee est non d eg en er ee. Objectif: Dans cette leçon nous présentons les formes quadratiques et les propriétés des matrices symétriques réelles qui y sont Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos: il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ouK n(K)En particulier, ce cas n’arrive pas sur un corps alg ebriquement clos. Dit autrement, on peut identifier polynôme et fonction polynôme en degré homogène(c’est-à-dire, pour les formes quadratiques). D e nition{ On dit qu’une forme quadratique qest d e nie si on a, pour tout x2E, (x6==)q(x) 6= 0). Il convient également de définir le noyau et 2 Formes quadratiques D´efinition Une application q: E −→ K est une forme quadratique sur E si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´eeil Mise en pratique (Exempleforme quadratique sans carr es) Soit R4 muni de la base canonique B= (e 1;e 2;e 3;e 4) et consid erons la forme quadratique q d e nie par Or il existe une forme quadratique anisotrope sur P si et seulement si le corps K n’est pas quadratiquement clos: il su t de consid erer la forme f(x;y) = x2 y2 sur K2, ouK n(K) Leçon– Cours: Formes quadratiques. D emonstration: montrons la contrapos ee Ces notions sont introduites dans le but de traiter en application les problèmes d'extrema libres et liés, très importants en 2 Formes quadratiques D´efinition Une application q: E −→ K est une forme quadratique sur E si l’une des conditions ´equivalentes suivantes est v´erifi´eeil existe une forme bilin´eaire sym´etrique φ sur E ×E telle que ∀x ∈ E, q(x) = φ(x,x) ou qest la forme quadratique associ ee a ’.